Question

【題目】已知橢圓,其左右頂點分別為,,上下頂點分別為,.圓是以線段為直徑的圓.

(1)求圓的方程;

(2)若點,是橢圓上關于軸對稱的兩個不同的點,直線,分別交軸于點,求證:為定值;

(3)若點是橢圓Γ上不同于點的點,直線與圓的另一個交點為.是否存在點,使得?若存在,求出點的坐標,若不存在,說明理由.

Answer 1

【答案】（1）=;（2）；（3）不存在點,使得，見解析

【解析】

(1)由題意得:,,即可求出圓的方程;

(2)由題意可知:,,設,則,,求出直線的方程是,從而求出點坐標,同理求出點坐標,再利用點在橢圓上,坐標滿足橢圓方程,即可化簡出為定值;

(3)顯然直線的斜率存在,設其方程為:=,代入橢圓方程得到=,再利用根與系數的關系和弦長公式求出的長,再利用構造直角三角形用勾股定理算出的長,假設存在點,使得,則=,所以,化簡得:=,此方程在實數范圍內無解,故原假設錯誤,即不存在點,使得.

（1）由題意得:,,

∴ 圓的圓心為原點,半徑為,

∴ 圓的方程是=;

（2）由題意可知:,,設,則,,

∴ 直線的方程是:,∴點,同理點,

又∵ 點在橢圓上,∴

∴ ,

（3）顯然直線的斜率存在,設其方程為:=,

聯立方程,化簡得:=,

設,則,

所以,

因為圓心到直線的距離,

所以=,

假設存在點,使得,則=,

所以,化簡得:=,此方程在實數范圍內無解,

故原假設錯誤,即不存在點,使得.