Question

已知點列B₁（1，y₁）、B₂（2，y₂）、…、B_n（n，y_n）（n∈N）順次為一次函數y=

1

4

x+

1

12

圖象上的點，點列A₁（x₁，0）、A₂（x₂，0）、…、A_n（x_n，0）（n∈N）順次為x軸正半軸上的點，其中x₁=a（0＜a＜1），對于任意n∈N，點A_n、B_n、A_n+1構成一個頂角的頂點為B_n的等腰三角形．
（1）求數列{y_n}2的通項公式，并證明{y_n}3是等差數列；
（2）證明x_n+2-x_n5為常數，并求出數列{x_n}6的通項公式；
（3）問上述等腰三角形A_n8B_n9A_n+110中，是否存在直角三角形？若有，求出此時a值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用點列B₁（1，y₁）、B₂（2，y₂）、…、B_n（n，y_n）（n∈N）順次為一次函數y=

1

4

x+

1

12

，可得數列{y_n}的通項公式，進而有{y_n}是等差數列；
（2）根據△A_nB_nA_n+1與△A_n+1B_n+1A_n+2為等腰三角形，可得

xn+xn+1 2 =n xn+1+xn+1 2 =n+1

，兩式相減，即可求出數列{x_n}的通項公式；
（3）要使△A_nB_nA_n+1為直角三角形，則xn+1-xn=2(

n

4

+

1

12

)，根據（2）分n為奇數、偶數時，進行討論，可求此時a值．

解答：解：（1）∵點列B₁（1，y₁）、B₂（2，y₂）、…、B_n（n，y_n）（n∈N）順次為一次函數y=

1

4

x+

1

12

∴yn=

1

4

n+

1

12

∴yn+1-yn=

1

4

∴{y_n}是等差數列；
（2）∵△A_nB_nA_n+1與△A_n+1B_n+1A_n+2為等腰三角形
∴

xn+xn+1 2 =n xn+1+xn+1 2 =n+1

．∴x_n+2-x_n=2
∴xn=

n+a-1(n為奇數) n-a(n為偶數)

（3）要使△A_nB_nA_n+1為直角三角形，則xn+1-xn=2(

n

4

+

1

12

)
當n為奇數時，x_n+1-x_n=2（1-a），∴2(

n

4

+

1

12

)=2(1-a)
∴a=

11

12

-

n

4

(n為奇數，0＜a＜1)
n=1，得a=

2

3

，n=3得a=

1

6

，n≥5，則無解；
當n為偶數時，同理得a=

1

12

n

4

(n為偶數，0＜a＜1)
 n=2，得 a=

7

12

，n≥4，則無解；
∴存在直角三角形，此時a值為

2

3

，

1

6

，

7

12

點評：本題以函數為載體，考查數列知識，考查數列的通項，考查分類討論思想，有較強的綜合性．