Question

設拋物線C：的焦點為F，經過點F的直線與拋物線交于A、B兩點．
(1)若，求線段中點M的軌跡方程；
(2)若直線AB的方向向量為，當焦點為時，求的面積；
(3)若M是拋物線C準線上的點，求證：直線的斜率成等差數列．

Answer 1

(1)  ；(2) 。
(3)顯然直線的斜率都存在，分別設為．
點的坐標為．
聯立方程組得到 ，
，得到．

試題分析：
思路分析：(1) 利用“代入法”。
(2) 聯立方程組得，，應用弦長公式求 
，得到面積。
(3)直線的斜率都存在，分別設為．
點的坐標為．
設直線AB：，代入拋物線得， 確定 ，
，得到．
解：(1) 設，，焦點，則由題意，即 
所求的軌跡方程為，即 
(2) ，，直線，
由得，， 
， 。
(3)顯然直線的斜率都存在，分別設為．
點的坐標為．
設直線AB：，代入拋物線得， 所以，
又，，
因而，
因而 
而，故．
點評：中檔題，涉及“弦中點”問題，往往利用“代入法”求軌跡方程。涉及直線與圓錐曲線的位置關系問題，往往通過聯立方程組，應用韋達定理，簡化解題過程。