【題目】設函數
，其中
，且
.
（1）求
值；
（2）若
，
為自然對數的底數，求證：當
時，
；
（3）若函數
為
上的單調函數，求實數
的取值范圍.
【答案】見解析
【解析】（1）依題意
.……………2分
（2）記
，則
，
設
,則當
時
,因此函數
在
上是單調增函數，且
，
所以由零點存在定理知，
在上存在唯一的零點
,……………5分
令
得
，
列表：
|
|
|
|
|
|
|
|
| ↘ | 極小值 | ↗ |
所以
，故
……………8分
（3）依題意，
，記
.
當
時，
①若
為
上的單調增函數，則
，即
在
上恒成立
因為
為
上的單調增函數
所以
，從而
，舍去. ……………10分
②若為
上的單調減函數，則
，即
在
上恒成立
因為
，
所以在
上不恒成立，舍去. ……………12分
當
時，
①若為
上的單調增函數，則，即
在
上恒成立
由
得
，
列表：
|
|
|
|
| + | 0 | - |
| ↗ | 極大值 | ↘ |
所以
所以
，即
，故
……………14分
②若為
上的單調減函數，則，即
在
上恒成立
由①知，當
時，
；當
，
所以，不成立，舍去
綜上，
……………16分
備注：由函數圖象能得出若單調必遞增（因為圖象交點左側y小于0，右側y大于0），可減少對
的討論.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在圓柱中，A，B，C，D是底面圓的四等分點，O是圓心，A1A，B1B，C1C與底面ABCD垂直，底面圓的直徑等于圓柱的高．
（Ⅰ）證明：BC⊥AB1；
（Ⅱ）（ⅰ）求二面角A1 - BB1 - D的大小；
（ⅱ）求異面直線AB1和BD所成角的余弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了調查“五一”小長假出游選擇“有水的地方”是否與性別有關，現從該市“五一”出游旅客中隨機抽取500人進行調查，得到如下2×2列聯表：（單位：人）
選擇“有水的地方” | 不選擇“有水的地方” | 合計 | |
男 | 90 | 110 | 200 |
女 | 210 | 90 | 300 |
合計 | 300 | 200 | 500 |
（Ⅰ）據此樣本，有多大的把握認為選擇“有水的地方”與性別有關；
（Ⅱ）若以樣本中各事件的頻率作為概率估計全市“五一”所有出游旅客情況，現從該市的全體出游旅客（人數眾多）中隨機抽取3人，設3人中選擇“有水的地方”的人數為隨機變量X，求隨機變量X的數學期望和方差．
附臨界值表及參考公式：
P（K2≥k0） | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
，n＝a＋b＋c＋d．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=|2x﹣a|，g（x）=x+1．
（1）若a=1，求不等式f（x）≤1的解集；
（2）對任意的x∈R，f（x）+|g（x）|≥a2+2a（a＞0）恒成立，求實數a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系中，以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρsin（θ+
）=
，曲線C的參數方程為
（α為參數）．
（1）求直線l的普通方程；
（2）若P是曲線C上的動點，求點P到直線l的最大距離及點P的坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某社區為豐富居民節日活動，組織了“迎新春”象棋大賽，已知報名的選手情況統計如下表：
組別 | 男 | 女 | 總計 |
中年組 |
|
| 91 |
老年組 | 16 |
|
|
已知中年組女性選手人數是僅比老年組女性選手人數多2人．若對中年組和老年組分別利用分層抽樣的方法抽取部分報名者參加比賽，已知老年組抽取了5人，其中女性3人，中年組抽取了7人．
（Ⅰ）求表格中的數據
；
（Ⅱ）若從選出的中年組的選手中隨機抽取兩名進行比賽，求至少有一名女性選手的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一企業從某條生產線上隨機抽取30件產品，測量這些產品的某項技術指標值
,得到如下的頻數分布表:
|
|
|
|
|
頻數 | 2 | 6 | 18 | 4 |
(I)估計該技術指標值的平均數和眾數（以各組區間的中點值代表該組的取值）；
(II) 若
或
，則該產品不合格，其余的是合格產品，從不合格的產品中隨機抽取2件，求抽取的2件產品中技術指標值小于
的產品恰有1件的概率．
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