Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，AC=6，BD=6

3

，E是PB上任意一點．
（1）求證：AC⊥DE；
（2）當△AEC面積的最小值是9時，求證：EC⊥平面PAB．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接BD，設(shè)AC與BD相交于點F．由已知中在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，我們易得AC⊥BD，PD⊥AC，由線面垂直的判定定理可以得AC⊥平面PDB，再由線面垂直的性質(zhì)定理，即可得到AC⊥DE；
（2）利用△AEC面積的最小值是9，求出EF，再利用線面垂直的判定定理可得結(jié)論．

解答： 解：（1）證明：連接BD，設(shè)AC與BD相交于點F．
因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．
又因為PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以PD⊥AC．
而AC∩BD=F，所以AC⊥平面PDB．
E為PB上任意一點，DE?平面PBD，所以AC⊥DE．
（2）證明：連ED．
由（1），知AC⊥平面PDB，EF?平面PBD，所以AC⊥EF．
S_△ACE=

1

2

AC•AF，在△ACE面積最小時，EF最小，則EF⊥PB，
所以S_△ACE=9，

1

2

×6×EF=9，解得EF=3，
由PB⊥EF且PB⊥AC得PB⊥平面AEC，則PB⊥EC，
又由EF=AF=FC=3得EC⊥AE，而PB∩AE=E，故EC⊥平面PAB．

點評：本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生空間想象能力，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．