Question

如圖，制圖工程師要用兩個(gè)同中心的邊長(zhǎng)均為4的正方形合成一個(gè)八角形圖形．由對(duì)稱性，圖中8個(gè)三角形都是全等的三角形，設(shè)．

（1）試用表示的面積；
（2）求八角形所覆蓋面積的最大值，并指出此時(shí)的大小．

Answer 1

(1)；(2)時(shí)面積的最大值為．

解析試題分析：(1)要求的面積，關(guān)鍵是求出兩直角邊長(zhǎng)，因此我們要把這兩直角邊與正方形的邊長(zhǎng)聯(lián)系起來(lái)，由已知，，從而直的三邊長(zhǎng)之和為正方形的邊長(zhǎng)4，所以的邊長(zhǎng)可以用表示，也就求出了它的面積；(2)由(1)，要求這個(gè)式子的最大值，我們要用換元法變形，這里我們?cè)O(shè)，則，于是就變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/58/a/1ewf84.png" style="vertical-align:middle;" />的代數(shù)函數(shù)，不能忘記的是的范圍是，時(shí)取最大值．
試題解析：（1）設(shè)為,∴，
，              3分
,，    7分
（2）令，                    9分
只需考慮取到最大值的情況，即為，   11分
當(dāng), 即時(shí), 達(dá)到最大                         13分
此時(shí)八角形所覆蓋面積的最大值為 ．          14分
考點(diǎn)：(1)方程與三角形面積；(2)換元法與三角函數(shù)的最大值．