Question

【題目】甲、乙兩地相距200千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過50千米/時．已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（千米/時）的平方成正比，比例系數為0.02；固定部分為50（元/時）．
（1）把全程運輸成本y（元）表示為速度v（千米/時）的函數，并指出定義域；
（2）用單調性定義證明（1）中函數的單調性，并指出汽車應以多大速度行駛可使全程運輸成本最小？

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意，汽車從甲地勻速行駛到乙地的時間為 小時，

全程運輸成本y（元）與速度v（千米/時）的函數關系是：y=（50+0.02v2） = +4v，v∈（0，50]

（2）解：令f（v）= +4v，設0＜v1＜v2≤50，

則f（v1）﹣f（v2）= +4v1﹣ ﹣4v2= ，

由0＜v1＜v2≤50，可得v1﹣v2＜0，0＜v1v2＜2500，

∴f（v1）﹣f（v2）＜0，即f（v1）＜f（v2）．

則f（v）在（0，50]上單調遞減，f（v）min=f（50），

答：為了使全程運輸成本最小，汽車應以50千米/時的速度行駛

【解析】（1）依題意，汽車從甲地勻速行駛到乙地的時間為 小時，全程運輸成本y（元）與速度v（千米/時）的函數關系是：y=（50+0.02v2） ，v∈（0，50]．（2）令f（v）= +4v，利用單調性的定義即可證明．