Question

【題目】如圖所示，平面ABC⊥平面BCDE，BC∥DE， ，BE=CD=2，AB⊥BC，M，N分別為DE，AD中點．

（1）證明：平面MNC⊥平面BCDE；
（2）若EC⊥CD，點P為棱AD的三等分點（近A），平面PMC與平面ABC所成銳二面角的余弦值為 ，求棱AB的長度．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結BM，ON，

由題意四邊形BMDC是菱形，∴O是BD中點，

∵N是AD中點，∴ON∥AB，

∵AB⊥BC，平面ABC⊥平面BCDE，∴AB⊥平面BCDE，

∴ON⊥平面BCDE，

∵ON平面MNC，∴平面MNC⊥平面BCDE

（2）解：以C為原點，CE為x軸，CD為y軸，過C作平面BCDE的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，

設A（ ，﹣1，t），（t＞0）由題意D（0，2，0），P（ ，0， ），E（2 ，0，0），

D（0，2，0），M（ ），B（ ，0），C（0，0，0），

=（ ，0， ）， =（ ）， =（ ，0）， =（ ），

設平面PMC的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x= ，得 =（ ，﹣3，﹣ ），

設平面ABC的法向量 =（a，b，c），

則 ，取a= ，得 =（ ，0），

∵平面PMC與平面ABC所成銳二面角的余弦值為 ，

∴|cos＜ ＞|= = = ，解得t=3．

∴棱AB的長度為3．

【解析】（1）連結BM，ON，推導出ON∥AB，AB⊥平面BCDE，從而ON⊥平面BCDE，由此能證明平面MNC⊥平面BCDE．（2）以C為原點，CE為x軸，CD為y軸，過C作平面BCDE的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出棱AB的長度．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關知識，掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．