Question

【題目】已知函數 ，若m＜n，且f（m）=f（n），則n﹣m的取值范圍是（ ）
A.[3﹣2ln2，2）
B.[3﹣2ln2，2]
C.[e﹣1，2]
D.[e﹣1，2）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：作出函數f（x）的圖象如圖：
若m＜n，且f（m）=f（n），
則當ln（x+1）=1時，得x+1=e，即x=e﹣1，
則滿足0＜n≤e﹣1，﹣2＜m≤0，
則ln（n+1）= m+1，即m=2ln（n+1）﹣2，
則n﹣m=n+2﹣2ln（n+1），
設h（n）=n+2﹣2ln（n+1），0＜n≤e﹣1
則h′（n）=1﹣ = = ，
當h′（x）＞0得1＜n≤e﹣1，
當h′（x）＜0得0＜n＜1，
即當n=1時，函數h（n）取得最小值h（1）=1+2﹣2ln2=3﹣2ln2，
當n=0時，h（0）=2﹣2ln1=2，
當n=e﹣1時，h（e﹣1）=e﹣1+2﹣2ln（e﹣1+1）=1+e﹣2=e﹣1＜2，
則3﹣2ln2≤h（n）＜2，
即n﹣m的取值范圍是[3﹣2ln2，2），
故選：A