Question

【題目】設函數．

(1)若函數在上單調遞增，求的取值范圍；

(2)當時，設函數的最小值為，求證：；

(3)求證：對任意的正整數，都有．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

(1) 題意知f′(x)＝ex－a≥0對x∈R恒成立,ex＞0進而得到結果；（2）由a＞0，及f′(x)＝ex－a，得到函數的單調性，故得到函數f(x)的最小值為g(a)＝f(lna)＝elna－alna－1＝a－alna－1，再對這個函數求導得到函數的單調性和最值，進而得到結果；（3）由前一問得到(x＋1)n＋1＜(ex)n＋1＝e(n＋1)x令，得到，再賦值：依次代入上述不等式，做和,放縮,利用等比數列求和公式可得到結果.

(1)由題意知f′(x)＝ex－a≥0對x∈R恒成立，且ex＞0，

故a的取值范圍為(－∞，0]．

(2)證明：由a＞0，及f′(x)＝ex－a，

可得函數f(x)在(－∞，lna)上單調遞減，在(lna，＋∞)上單調遞增，

故函數f(x)的最小值為g(a)＝f(lna)＝elna－alna－1＝a－alna－1，則g′(a)＝－lna，

故當a∈(0，1)時，g′(a)＞0，

當a∈(1，＋∞)時，g′(a)＜0，

從而可知g(a)在(0，1)上單調遞增，在(1，＋∞)上單調遞減，且g(1)＝0，

故g(a)≤0．

(3)證明：由(2)可知，當a＝1時，

總有f(x)＝ex－x－1≥0，當且僅當x＝0時等號成立．即當x＋1＞0且x≠0時，總有ex＞x＋1．于是，可得(x＋1)n＋1＜(ex)n＋1＝e(n＋1)x．

令x＋1＝，即x＝－，可得；

令x＋1＝，即x＝－，可得；

令x＋1＝，即x＝－，可得；

……

令x＋1＝，即x＝－，可得．

累加可得

．

故對任意的正整數n，都有．