Question

【題目】已知橢圓的焦距為，且經(jīng)過點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）A是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)，橢圓上是否存在兩點(diǎn)M，N，使得△AMN是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，請說明有幾個(gè)，并求出直線MN；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，有3個(gè)．

【解析】

試題先用待定系數(shù)法求出橢圓方程，因?yàn)?/span>，直角邊AM，AN不可能垂直或平行于軸，設(shè)的斜率為，則的斜率為，寫出的直線方程，分別與橢圓方程聯(lián)立，解出點(diǎn)的坐標(biāo)，同理把，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出，由，列出方程求出值.

試題解析：(Ⅰ)由題解得，．所以橢圓Ω的方程為．

(Ⅱ)由題意可知，直角邊AM，AN不可能垂直或平行于軸，故可設(shè)AM所在直線的方程為，不妨設(shè)，則直線AM所在的方程為．

聯(lián)立方程消去整理得，解得，將代入可得，故點(diǎn) .

所以．

同理可得，由，得，

所以，則，解得或．

當(dāng)AM斜率時(shí)，AN斜率；當(dāng)AM斜率時(shí)，AN斜率；當(dāng)AM斜率時(shí)，AN斜率．

綜上所述，符合條件的三角形有個(gè).