Question

【題目】設為坐標原點，動點在圓上，過作軸的垂線，垂足為，點滿足．

（1）求點的軌跡的方程；

（2）直線上的點滿足．過點作直線垂直于線段交于點．

（ⅰ）證明：恒過定點；

（ⅱ）設線段交于點，求四邊形的面積．

Answer 1

【答案】（1）（2）（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）.

【解析】

（1）設，則，根據向量關系坐標化可得，消去可得軌跡的方程；

（2）（ⅰ）設，根據直線垂直，向量的數量積為0可得：，設直線方程為，化簡即可得到直線過定點坐標；

（ⅱ）根據直線與圓相交的弦長公式求出，，再根據對角線相乘的半，求得四邊形的面積.

（1）設，則

∵，又，，

∴

又，∴，化簡得點的軌跡方程為

（2）（ⅰ）設，

∵，∴

又，∴ ①

又直線過點且垂直于線段，故設直線方程為

化簡得，又由①式可得，所以恒過定點

（ⅱ）直線為，交圓于兩點

則圓心到直線的距離為，

∴弦長，

又直線為，由得，

故，

∴，即四邊形的面積