Question

．（本題滿分12分）
如圖甲，直角梯形中，，，點、分別在，上，且，，，，現將梯形沿折起，使平面與平面垂直（如圖乙）．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）當的長為何值時，二面角的大小為？

Answer 1

法一：（Ⅰ）MB//NC，MB平面DNC，NC平面DNC，
MB//平面DN            C．…………………2分
同理MA//平面DNC，又MAMB="M," 且MA,MB平面MA                  B．
． （6分）
（Ⅱ）過N作NH交BC延長線于H，連HN，
平面AMND平面MNCB，DNMN,               …………………8分
DN平面MBCN，從而,
為二面角D-BC-N的平面角．      =  …………………10分               
由MB=4，BC=2，知60º，
． sin60º =       …………………11分            
由條件知：   …………………12分             
解法二：如圖，以點N為坐標原點，以NM，NC，ND所在直線分別作為軸，軸和軸，建立空間直角坐標系易得NC=3，MN=，
設，則．

（I）．
，
∵，
∴與平面共面，又，．                （6分）
（II）設平面DBC的法向量，
則，令，則， 
∴．                                                     （8分）
又平面NBC的法向量．                                          （9分）
             …………………11分
即：   又即   …………………12分

略