Question

已知向量

m

=（

3

cosx，cosx），

n

=（sinx，-cosx），函數f（x）=

m

•

n

．
（1）求函數的單調遞增區間；
（2）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，若ccosB+bcosC=2acosB，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,正弦定理

專題：計算題,三角函數的求值,三角函數的圖像與性質,解三角形

分析：（1）運用平面向量的數量積的坐標公式，二倍角的正弦和余弦公式，兩角差的正弦公式，以及正弦函數的單調增區間，解不等式，即可得到；
（2）運用正弦定理，可得B，再由正弦函數的圖象和性質，即可得到范圍．

解答： 解：（1）函數f（x）=

m

•

n

=

3

sinxcosx-cos²x
=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

=sin（2x-

π

6

）-

1

2

，
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
則函數的單調遞增區間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z；
（2）由于ccosB+bcosC=2acosB，
則sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosB
即有sin（B+C）=2sinAcosB，則sinA=2sinAcosB，
cosB=

1

2

，即有B=

π

3

，A+C=

2π

3

，
則f（A）=sin（2A-

π

6

）-

1

2

由于0＜A＜

2π

3

，則-

π

6

＜2A-

π

6

＜

7π

6

，
-

1

2

＜sin（2A-

π

6

）≤1，即有-1＜f（A）≤

1

2

．
則f（A）的取值范圍是（-1，

1

2

]．

點評：本題考查平面向量的數量積的坐標公式，考查三角函數的化簡和求值及正弦定理的運用，考查正弦函數的單調性及運用，考查運算能力，屬于中檔題．