Question

【題目】對于函數y=f（x），若在其定義域內存在x0 ， 使得x0f（x0）=1成立，則稱x0為函數f（x）的“反比點”．下列函數中具有“反比點”的是
①f（x）=﹣2x+2； ②f（x）=sinx，x∈[0，2π]；
③f（x）=x+ ， x∈（0，+∞）；④f（x）=ex； ⑤f（x）=﹣2lnx．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】①由
則①具有“反比點”．
②設h（x）=xsinx﹣1，∵h（0）=﹣1＜0， ，
∴h（x）=xsinx﹣1=0xsinx=1在上有解，所以②具有“反比點”．
③由（0，+∞），所以③不具有“反比點”；
④若xex=1令g（x）=xex﹣1，g（0）=﹣1＜0，g（1）=e﹣1＞0④具有“反比點”
⑤若在（0，+∞）上 有解，
令h（x）=xlnxh'（x）=lnx+1=0x=e﹣1 ，
可得h（x）在x=e﹣1有最小值﹣e﹣1 ， 而 ， 所以⑤不具有“反比點”，
所以答案是：①②④
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的值的相關知識，掌握函數值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數的單調性法．