Question

【題目】已知圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=16及直線l：（m+2）x+（3m+1）y=15m+10（m∈R）．

（1）證明：不論m取什么實數，直線l與圓C恒相交；

（2）求直線l被圓C截得的弦長的最短長度及此時的直線方程．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）最短長度為，此時直線方程為x+y=7．．

【解析】

（1）根據題意，利用直線系求出直線l恒過的定點（3，4），判斷該定點在圓的內部，分析即可得答案，

（2）利用圓的半徑弦心距與半弦長的關系判斷所求直線的位置，求出斜率，即可得到直線方程．

（1）證明：直線l可化為2x+y﹣10+m（x+3y﹣15）=0，

，解可得，

則直線l：（m+2）x+（3m+1）y=15m+10恒過點（3，4）．

又有（3﹣2）2+（4﹣3）2=2＜16，

則點（3，4）在圓內部，

故不論m為何實數，直線l與圓恒相交；

（2）根據題意，設直線與圓的交點為A、B，M（3，4），

由（1）的結論和直線l過定點M（3，4）且與過此點的圓C的半徑垂直時，l被圓所截的弦長|AB|最短，

此時圓心到直線的距離為，

所以，即最短弦長為．

又KCM==1，則直線l的斜率k=﹣1，

則直線l的方程為y﹣4=﹣（x﹣3），即x+y=7．