Question

已知a_n+1=na_n+n-1，a₁=1，求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：由a_n+1=na_n+n-1得1+a_n+1=n（a_n+1），利用累積法進行求解即可．

解答： 解：∵a_n+1=na_n+n-1，
∴1+a_n+1=n（a_n+1），即

1+an+1

1+an

=n，
則

1+a2

1+a1

=1，

1+a3

1+a2

=2，

1+a4

1+a3

=3，…

1+an

1+an-1

=n-1，
等式兩邊同時相乘得

1+a2

1+a1

•

1+a3

1+a2

•

1+a4

1+a3

…，

1+an

1+an-1

=1×2×3×…（n-1），
即

1+an

2

=(n-1)！，
則1+a_n=2•（n-1）!，
即a_n=2•（n-1）!-1．
故數列{a_n}的通項公式a_n=2•（n-1）!．

點評：本題主要考查數列通項公式的求解，根據數列的遞推關系，利用累積法是解決本題的關鍵．