Question

已知冪函數y=f（x）的圖象過點（4，2），令a_n=f（n+1）+f（n），n∈N⁺，記數列{

1

an

}的前n項和為S_n，則S_n=10時，n的值是

 

．

Answer 1

考點：冪函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：冪函數y=f（x）=x^α的圖象過點（4，2），可得f(x)=

x

．由于a_n=f（n+1）+f（n）=

n+1

+

n

，n∈N⁺，可得

1

an

=

n+1

-

n

．利用“累加求和”可得S_n=

n+1

-1．令

n+1

-1=10，解出即可．

解答： 解：∵冪函數y=f（x）=x^α的圖象過點（4，2），
∴2=4^α，解得α=

1

2

．
∴f(x)=

x

．
∵a_n=f（n+1）+f（n）=

n+1

+

n

，n∈N⁺，
∴

1

an

=

1

n+1 + n

=

n+1

-

n

．
∴數列{

1

an

}的前n項和為S_n=(

2

-1)+(

3

-

2

)+…+(

n+1

-

n

)=

n+1

-1．
則S_n=10時，令

n+1

-1=10，
解得n=120．
故答案為：120．

點評：本題考查了冪函數的性質、“累加求和”方法、數列的通項公式、分子有理化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．