Question

圓柱的高為4cm，底面半徑為3cm，上底面一條半徑OA與下底面一條半徑O′B′成60°角，求：
（1）線段AB′的長；
（2）直線AB′與圓柱的軸OO′所成的角（用反三角表示）；
（3）點A沿圓柱側面到達點B′的最短距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,多面體和旋轉體表面上的最短距離問題,異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：（1）根據已知條件知A′B′=3，所以在Rt△AA′B′中，AB′=5；
（2）OO′∥AA′，并且由圖形知∠B′AA′為銳角，所以∠B′AA′即為直線AB′與OO′所成角，而∠B′AA′=arcsin

3

5

；
（3）將圓柱側面沿過B′的母線展開，假設B′展開到B，則BA便是所求的最短距離，而BA′弧A′B′的長π，所以在Rt△ABA′中，AB=

16+π2

．

解答： 解：（1）由已知條件知，△OA′B′為等邊三角形；
∴A′B′=3，且AA′⊥A′B′，AA′=4；
∴AB′=5；
（2）∵OO′∥AA′；
∴由圖形知∠B′AA′為異面直線AB′與OO′所成角；
∵sin∠B′AA′=

3

5

；
∴異面直線AB′與OO′所成角的大小為arcsin

3

5

；
（3）將圓柱的側面沿過B′的母線展開；
弧A′B′的長為：3•

π

3

=π；
∴點A沿圓柱側面到達點B′的最短距離為

16+π2

．

點評：考查異面直線所成角的概念及求法，反三角函數的概念，以及弧長公式，圓柱的母線與底面的關系．