Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F（-2，0）過點(diǎn)F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，

2

2

），則E的方程為（　　）

• A、

  x2

  36

  +

  y2

  32

  =1
• B、

  x2

  16

  +

  y2

  12

  =1
• C、

  x2

  20

  +

  y2

  16

  =1
• D、

  x2

  8

  +

  y2

  4

  =1

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)過點(diǎn)F的直線方程為：y=k（x+2），聯(lián)立橢圓方程，消去y，運(yùn)用韋達(dá)定理，和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，化簡(jiǎn)整理，解方程，即可得到橢圓方程．

解答： 解：設(shè)過點(diǎn)F的直線方程為：y=k（x+2），
聯(lián)立橢圓方程，消去y，得，（b²+a²k²）x²+4a²k²x+4a²k²-a²b²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-

4a2k2

b2+a2k2

，即有AB中點(diǎn)為（-

2a2k2

b2+a2k2

，

2kb2

b2+a2k2

），
即有-

2a2k2

b2+a2k2

=-1，

2kb2

b2+a2k2

=

2

2

，又k=

2 2

-1+2

=

2

2

，
解得，b²=

1

2

a²，
且c=2，即有a²-b²=4，
解得，a²=8，b²=4．
則有橢圓E的方程為：

x2

8

+

y2

4

=1．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程和運(yùn)用，考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．