Question

【題目】已知點在同一個球的球面上，，，.若四面體體積的最大值為，則這個球的表面積為_____.

Answer 1

【答案】

【解析】

根據幾何體的特征，小圓的圓心為Q，若四面體ABCD的體積的最大值，由于底面積S△ABC不變，高最大時體積最大，可得DQ與面ABC垂直時體積最大，從而求出球的半徑，即可求出球的表面積．

根據題意知，A、B、C三點均在球心O的表面上，

且，，，由余弦定理可得BC，∴△ABC為直角三角形，

∴△ABC外接圓直徑2r＝AC=6，即r＝3，

且S△ABC×3，

AC的中點即為小圓的圓心設為Q，若四面體ABCD的體積的最大值，由于底面積S△ABC不變，高最大時體積最大，

所以，DQ與面ABC垂直時體積最大，最大值為S△ABC×DQ，

∴DQ＝3，

設球的半徑為R，則

在直角△AQO中，OA2＝AQ2+OQ2，即R2＝32+（3﹣R）2，∴R，

∴球的表面積為，

故答案為．