Question

【題目】如圖，已知橢圓，過點，離心率為，左、右焦點分別為、．點為直線上且不在軸上的任意一點，直線和與橢圓的交點分別為、和、，為坐標原點．

（）求橢圓的標準方程；

（）設直線、斜率分別為、．

①證明：；

②問直線上是否存在一點，使直線、、、的斜率、、、滿足？若存在，求出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見解析，②.

【解析】

試題分析：（1）利用橢圓過已知點和離心率結合性質，列出關于 、 、的方程組，求得和，則橢圓的方程可得；（2）①把直線的方程聯立求得交點的坐標的表達式，代入直線上，整理求得，原式得證；②設出的坐標,聯立直線和橢圓的方程根據韋達定理表示出和,進而可求得直線、斜率的和與、斜率的和,由，推斷出或分別討論可求得點的坐標.

試題解析：（）因為橢圓過點，，

所以，．

又，所以，，，

故橢圓方程為．

（）①設，則，，

因為點不在軸上，所以．

又，

所以．

②設，，，，

聯立直線與橢圓方程得，

化簡得，

因此，，

由于、斜率存在，

所以，，因此，，

因此．

類似可以得到

，，，，，

故．

若，必須有或．

當時，結合①的結論，可得，

所以解得點坐標為．

當時，結合①的結論，可得或（舍去），

此時直線的方程為，聯立方程得，．

因此點坐標為．