Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC、PC的中點．
（1）證明：AE⊥PD；
（2）設AB=2，若H為線段PD上的動點，EH與平面PAD所成的最大角的正切值為

6

2

，求AP的長度．

Answer 1

分析：（1）首先判斷四邊形ABCD形狀，推出△ABC為正三角形，BC邊上的中線AE也是高線，聯(lián)系BC∥AD得到AE⊥AD，再利用AD是PD在平面ABCD內的射影，從而得到AE與PD垂直．
（2）利用AE與PD、PA都垂直，可得到AE⊥平面PAD，從而AE⊥平面AHE，然后求出AE，通過EH與平面PAD所成的最大角的正切值為

6

2

．求出AH，最后轉到Rt△PAD中求得PA=2．

解答：解：（1）AE⊥PD---------------------------------------（1分）
因為四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC為等邊三角形．
因為E是BC的中點，
∴AE⊥BC，結合BC∥AD，得AE⊥AD-------------------（2分）
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
∴PA⊥AE---------（3分）
PA∩AD=A，且PA?平面PAD，AD?平面PAD
∴AE⊥平面PAD，又PD?平面PAD-----------------------------（5分）
∴AE⊥PD-------------------------------------------------（6分）
（2）由（1），EA⊥平面PAD，
∴EA⊥AH，即△AEH為直角三角形，----------（8分）
Rt△EAH中，AE=

3

，
當AH最短時，即AH⊥PD時，EH與平面PAD所成的角最大，最大角的正切值為

6

2

，-----------（10分）
此時，tan∠EHA=

AE

AH

=

6

2

，AH=

2

．
又AD=2，所以∠ADH=45°，所以PA=2．------------------（12分）

點評：本題綜合了直線與平面平行的判定、直線與平面垂直的性質和棱柱、棱錐、棱臺的體積等幾個知識點，屬于中檔題．在題中出現了探究性問題，請同學們留意在解題過程中“空間問題平面化的思路”，是立體幾何常用的數學思想．