Question

【題目】已知二次函數的圖象經過點，對任意實數滿足，且函數的最小值為2．

（1）求函數的解析式；

（2）設函數，其中，求函數在區間上的最小值；

（3）若在區間上，函數的圖象恒在函數的圖象上方，試確定實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2） （3）

【解析】試題分析：（1）由題意可得二次函數圖象的對稱軸和最小值，可根據頂點式設出解析式，再根據圖象過點求解；（2）根據對稱軸和區間的位置關系，分類討論求出函數的最小值；（3）分離參數得對恒成立，可將問題轉化為求函數， 的最小值解決。

試題解析：

（1）∵對任意實數函數滿足，

∴二次函數的圖象關于直線對稱，

又函數的最小值為2．

∴設（）．

又點在二次函數的圖象上，

∴，

解得．

∴．

（2）由（1）知， ，

則 ．

①當時，函數在區間上單調遞增，

所以；

②當時，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

所以；

③當時，函數在區間上單調遞減，

所以．

綜上函數在區間上的最小值

（3）由題意，得對恒成立，

∴對恒成立.

設， .

則 ，

而，

所以．

所以

所以實數的取值范圍是．