Question

設a，b∈R且a≠2，定義在區間（-b，b）上的函數f（x）=lg

1+ax

1+2x

滿足：f（x）+f（-x）=0．
（1）求實數a的值；
（2）求b的取值范圍．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）利用奇函數的定義可得a．
（2）再利用奇函數和對數函數的定義域可得b的取值范圍．

解答： 解：（1）依題意知：當x∈（-b，b）時，f（-x）=-f（x）恒成立，∴函數是奇函數，
即 lg

1-ax

1-2x

=-lg

1+ax

1+2x

恒成立，
 而lg

1-ax

1-2x

=-lg

1+ax

1+2x

?

1-ax 1-2x = 1+2x 1+ax ?a2x2=4x2⇒a2=4，⇒a=-2(2舍去) 1-ax 1-2x ＞0

，
即a=-2．
（2）由

1+2x

1-2x

＞0，解得-

1

2

＜x＜

1

2

．
依題意知：（-b，b）⊆（-

1

2

，

1

2

），
∴0＜b≤

1

2

即b∈（0，

1

2

]．

點評：本題考查了函數的奇偶性、單調性、對數函數的運算法則，考查了推理能力和技能數列，屬于中檔題．