Question

【題目】在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知向量 =（﹣1，2），又點A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t），θ∈R．
（1）若 ⊥ ，且 ，求向量 ；
（2）若向量 與向量 共線，常數k＞0，求f（θ）=tsinθ的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解： =（n﹣8，t），∵ ⊥ ，且 ，∴﹣（n﹣8）+2t=0， =8 ，

解得t=±8，t=8時，n=24；t=﹣8時，n=﹣8．

∴向量 =（24，8），（﹣8，﹣8）．（2） =（ksinθ﹣8，t），

（2）解：∵向量 與向量 共線，常數k＞0，∴t=﹣2ksinθ+16，

∴f（θ）=tsinθ=﹣2ksin2θ+16sinθ=﹣2k + ．

①k＞4時， ，∴sinθ= 時，f（θ）=tsinθ取得最大值 ，

sinθ=﹣1時，f（θ）=tsinθ取得最小值﹣2k﹣16，此時函數f（θ）的值域為 ．

②4＞k＞0時， ＞1．∴sinθ=1時，f（θ）=tsinθ取得最大值﹣2k+16，

sinθ=﹣1時，f（θ）=tsinθ取得最小值﹣2k﹣16，

此時函數f（θ）的值域為[﹣2k﹣16，﹣2k+16]．

【解析】（1） =（n﹣8，t），由 ⊥ ，且 ，可得﹣（n﹣8）+2t=0， =8 ，聯立解出即可得出．（2） =（ksinθ﹣8，t），由向量 與向量 共線，常數k＞0，可得t=﹣2ksinθ+16，f（θ）=tsinθ=﹣2ksin2θ+16sinθ=﹣2k + ．對k分類討論，利用三角函數的值域、二次函數的單調性即可得出．
【考點精析】認真審題，首先需要了解平面向量的坐標運算(坐標運算：設，則;;設，則)．