Question

已知直線過定點，動點滿足，動點的軌跡為.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）直線與交于兩點，以為切點分別作的切線，兩切線交于點.
①求證：；②若直線與交于兩點，求四邊形面積的最大值.

Answer 1

(1) (2) 根據直線斜率互為負倒數來得到證明，當且僅當時，四邊形面積的取到最小值。

試題分析：（I）由題意知，設
化簡得     3分
（Ⅱ）①設，，
由消去，得，顯然.
所以， 
由，得，所以，
所以，以為切點的切線的斜率為，
所以，以為切點的切線方程為，又，
所以，以為切點的切線方程為……（1）
同理，以為切點的切線方程為……（2）
（2）-（1）并據得點的橫坐標，
代入（1）易得點的縱坐標，所以點的坐標為
當時，顯然
當時，，從而   8分
②由已知，顯然直線的斜率不為0，由①知，所以，
則直線的方程為，
設設，，
由消去，得，顯然，
所以，.
又


 
因為，所以，
所以，，
當且僅當時，四邊形面積的取到最小值    13分
點評：解決的關鍵是借助于向量的模來表示得到軌跡方程，并聯立方程組來得到弦長公式，進而得到面積的表示，屬于中檔題。