【題目】已知橢圓
的一個(gè)頂點(diǎn)是
，離心率為
．
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）已知矩形
的四條邊都與橢圓相切，設(shè)直線AB方程為
，求矩形面積的最小值與最大值.
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）當(dāng)
時(shí)S有最大值10；當(dāng)k=0時(shí)，S有最小值8.
【解析】
試題（Ⅰ）利用待定系數(shù)法即可，由題意，橢圓
的一個(gè)頂點(diǎn)是
，
所以
，又
，橢圓C的方程是；（Ⅱ）注意斜率的討論，當(dāng)
時(shí)，
橢圓的外切矩形
面積為8. 當(dāng)
時(shí)， AB所在直線方程為
，所以，直線BC和AD的斜率均為
.聯(lián)立直線AB與橢圓方程可得
，令
得到
，直線AB與直線DC之間的距離為
，同理可求BC與AD距離為
，所以矩形ABCD的面積為
，再利用基本不等式即可解決.
試題解析：（Ⅰ）由題意，橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)是，
所以
又，離心率為
，即，
解得，
故橢圓C的方程是
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，
橢圓的外切矩形面積為8.
當(dāng)時(shí)，
橢圓的外切矩形的邊AB所在直線方程為，
所以，直線BC和AD的斜率均為.
由
，消去y得
，
化簡得：
所以，直線AB方程為
直線DC方程為
直線AB與直線DC之間的距離為
同理，可求BC與AD距離為
則矩形ABCD的面積為
由均值定理
僅當(dāng)
，即時(shí)S有最大值10.
因此，當(dāng)時(shí)S有最大值10；
當(dāng)K=0時(shí)，S有最小值8.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱錐
中，
，
，
為
的中點(diǎn)．
（1）證明：
平面
；
（2）若點(diǎn)
在棱
上，且二面角
為
，求
與平面
所成角的正弦值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)m，n為平面α外兩條直線，其在平面α內(nèi)的射影分別是兩條直線m1和n1，給出下列4個(gè)命題：①m1∥n1m∥n；②m∥nm1與n1平行或重合；③m1⊥n1m⊥n；④m⊥nm1⊥n1．其中所有假命題的序號(hào)是_____．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】將
個(gè)不同的紅球和
個(gè)不同的白球，放入同一個(gè)袋中，現(xiàn)從中取出個(gè)球.
（1）若取出的紅球的個(gè)數(shù)不少于白球的個(gè)數(shù)，則有多少種不同的取法；
（2）取出一個(gè)紅球記
分，取出一個(gè)白球記
分，若取出個(gè)球的總分不少于
分，則有多少種不同的取法；
（3）若將取出的個(gè)球放入一箱子中，記“從箱子中任意取出個(gè)球，然后放回箱子中”為一次操作，如果操作三次，求恰有一次取到個(gè)紅球并且恰有一次取到個(gè)白球的概率.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1，2，3，4.
（1）從袋中隨機(jī)抽取兩個(gè)球，求取出的球的編號(hào)之和不大于4的概率；
（2）先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為n，求
的概率
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】△ABC中，A(0,1)，AB邊上的高CD所在直線的方程為x＋2y－4＝0，AC邊上的中線BE所在直線的方程為2x＋y－3＝0.
(1)求直線AB的方程；
(2)求直線BC的方程；
(3)求△BDE的面積．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】為了選拔學(xué)生參加全市中學(xué)生物理競賽，學(xué)校先從高三年級選取60名同學(xué)進(jìn)行競賽預(yù)選賽，將參加預(yù)選賽的學(xué)生成績（單位：分）按范圍
，
，
，
分組，得到的頻率分布直方圖如圖：
（1）計(jì)算這次預(yù)選賽的平均成績（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
（2）若對得分在前
的學(xué)生進(jìn)行校內(nèi)獎(jiǎng)勵(lì)，估計(jì)獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線；
（3）若這60名學(xué)生中男女生比例為
，成績不低于60分評估為“成績良好”，否則評估為“成績一般”，試完成下面
列聯(lián)表，是否有
的把握認(rèn)為“成績良好”與“性別”有關(guān)？
成績良好 | 成績一般 | 合計(jì) | |
男生 | |||
女生 | |||
合計(jì) |
附：
，
臨界值表：
| 0.10 | 0.05 | 0.010 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】一半徑為
的水輪,水輪圓心
距離水面2
,已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)(按逆時(shí)針方向)3圈,當(dāng)水輪上點(diǎn)
從水中浮現(xiàn)時(shí)開始計(jì)時(shí),即從圖中點(diǎn)
開始計(jì)算時(shí)間.
(1)當(dāng)
秒時(shí)點(diǎn)離水面的高度_________；
(2)將點(diǎn)距離水面的高度
(單位: )表示為時(shí)間
(單位: 
)的函數(shù)，則此函數(shù)表達(dá)式為_______________ .
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)
表示不大于實(shí)數(shù)
的最大整數(shù)，函數(shù)
，若關(guān)于的方程
有且只有5個(gè)解，則實(shí)數(shù)
的取值范圍為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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