Question

【題目】如圖，某生態園將一三角形地塊ABC的一角APQ開辟為水果園，種植桃樹，已知角A為120°．現在邊界AP，AQ處建圍墻，PQ處圍柵欄．

（1）若∠APQ=15°，AP與AQ兩處圍墻長度和為100（ +1）米，求柵欄PQ的長；
（2）已知AB，AC的長度均大于200米，若水果園APQ面積為2500 平方米，問AP，AQ長各為多少時，可使三角形APQ周長最��？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵依題意，∠AQP=45°，由正弦定理： ，

∴得 ，

∵ ，

∴

（2）解：設AP=x米，AQ=y米．

則 xy=10000，

，

設△ABC的周長為L，則L= = ，

令x+y=t，L= 在定義域上單調增，

所以 ，當x=y=100取等號；

所以當AP=AQ=100米時，三角形地塊APQ的周長最小

【解析】（1）依題意，∠AQP=45°，由正弦定理： ，可得 利用特殊角的三角函數值即可計算得解PQ的值．（2）設AP=x米，AQ=y米，利用三角形面積公式可求xy=10000，進而可求 ，設△ABC的周長為L，則L= = ，令x+y=t，L= 在定義域上單調增，利用二次函數的圖象和性質即可得解．
【考點精析】通過靈活運用正弦定理的定義和余弦定理的定義，掌握正弦定理:；余弦定理:;;即可以解答此題．