Question

【題目】已知直線 x+y﹣ =0經過橢圓C： + =1（a＞b＞0）的右焦點和上頂點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過點（0，﹣2）的直線l與橢圓C交于不同的A，B兩點，若∠AOB為鈍角，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由直線 x+y﹣ =0，分別令y=0，x=0，可得橢圓右焦點（1，0），上頂點（0， ）．

∴c=1，b= ，a= =2．

∴橢圓C的標準方程為： =1．

（2）解：由題意可知：直線l的斜率垂直，可設直線l的方程為：y=kx﹣2．A（x1，y1），B（x2，y2）．

聯立 ，化為（4k2+3）x2﹣16kx+4=0，

∵△＞0，∴k2 ．

又x1+x2= ，x1x2= ．

∵∠AOB為鈍角，∴ ＜0，

∴x1x2+y1y2＜0，x1x2+（kx1﹣2）（kx2﹣2）＜0，化為：（1+k2）x1x2﹣2k（x1+x2）+4＜0，

∴（1+k2）× ﹣2k× +4＜0，化為k2 ．解得 ，或k ，

∴直線l的斜率k的取值范圍是 ∪

【解析】（1）由直線 x+y﹣ =0，分別令y=0，x=0，可得橢圓右焦點（1，0），上頂點（0， ）．又a= ，即可得出．（2）由題意可知：直線l的斜率垂直，可設直線l的方程為：y=kx﹣2．A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．與橢圓方程聯立化為（4k2+3）x2﹣16kx+4=0，△＞0，可得k2 ．由∠AOB為鈍角，∴ ＜0，利用數量積運算性質、根與系數的關系即可得出．