Question

如圖，棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點P在側面BCC₁B₁及其邊界上運動，并且總保持向量

AP

在

BD1

上的投影為0，則線段AP掃過的區域的面積為（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  2

  2

• C、

  3

  2

• D、

  5

  4

Answer 1

考點：平行投影及平行投影作圖法

專題：空間位置關系與距離

分析：向量

AP

在

BD1

上的投影為0，則等價為AP⊥BD₁，根據條件可知點P的軌跡為面ACB₁與面BCC₁B₁的交線段CB₁

解答： 解：∵點P在側面BCC₁B₁及其邊界上運動，并且總保持向量

AP

在

BD1

上的投影為0，
∴等價為AP⊥BD₁，
連接AC，AB₁，B₁C，
在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
易得BD₁⊥CB₁，BD₁⊥AC；
則BD₁⊥面ACB₁，
又點P在側面BCC₁B₁及其邊界上運動，
根據平面的基本性質得：
點P的軌跡為面ACB₁與面BCC₁B₁的交線段CB₁．
則線段AP掃過的區域為三角形AB₁C，為邊長為

2

的正三角形，
則三角形的面積S=

1

2

×(

2

)2×

3

2

=

3

2

，
故選：C

點評：本題主要考查三角形的面積的計算，根據線面垂直的性質確定P的軌跡是解決本題的關鍵．