Question

【題目】已知圓與軸負半軸相交于點，與軸正半軸相交于點.

（1）若過點的直線被圓截得的弦長為，求直線的方程；

（2）若在以為圓心半徑為的圓上存在點，使得 (為坐標原點)，求的取值范圍；

（3）設是圓上的兩個動點，點關于原點的對稱點為，點關于軸的對稱點為，如果直線與軸分別交于和，問是否為定值？若是求出該定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）直線的方程為或；（2）；（3）為定值1..

【解析】試題分析：（1）由題意分類討論直線的斜率是否存在，根據垂徑定理，弦心距，弦長及半徑的勾股關系解得k即可求得直線方程；(2) 設點的坐標為，由題得點的坐標為，點的坐標為由可得，化簡可得又點在圓上，所以轉化為點p軌跡與圓B有交點即可得解（3），則，直線的方程為，令，則 ， 同理可得利用是圓上的兩個動點即可得定值.

試題解析：

（1） 若直線的斜率不存在，則的方程為： ，符合題意.

若直線的斜率存在，設的方程為： ，即

∴點到直線的距離

∵直線被圓截得的弦長為，∴

∴ ，此時的方程為：

∴所求直線的方程為或

（2）設點的坐標為，由題得點的坐標為，點的坐標為

由可得，化簡可得

∵點在圓上，∴，∴

∴所求的取值范圍是.

（3）∵，則

∴直線的方程為

令，則 同理可得

∴

∴為定值1.