Question

【題目】選修4-1：幾何證明選講

如圖，等邊三角形內接于圓，以為切點的圓的兩條切線交于點，交圓于點.

（1）求證：四邊形為菱形；

（2）若，求等邊三角形的面積.

Answer 1

【答案】（１）證明見解析；（２）．

【解析】

試題分析：（１）先證四邊形為平行四邊形，再證明鄰邊相等即可；（２）利用根據切割線定理得：整理成只含的等式，可求得的值，進而得，可得三角形的面積．

試題解析：（1）證明：∵三角形為等邊三角形，∴，

又∵分別為以為切點的圓的切線，

∴，且，∴三點共線.

∵，∴，又∵四點共圓，∴，

∴為等邊三角形，∴可得，，

∴，，∴四邊形為平行四邊形，

又∵，∴四邊形為菱形.

（2）解：∵是圓的切線，根據切割線定理得：

在直角三角形中，，∴.

又∵，∴，

∵，∴，

即，解得，

∴，∴等邊三角形的面積為.