Question

【題目】已知數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋1.

(1)證明是等比數列，并求{an}的通項公式；

(2)證明： .

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：

(1)結合題中所給的遞推關系可得： ，據此可得數列是首項為，公比為3的等比數列；

(2)結合(1)的結論可得，據此進行放縮后求和即可證得題中的結論.

試題解析：

(1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝3，所以＝3，

所以是等比數列，首項為a1＋＝，公比為3，

所以an＋＝·3n－1，

因此{an}的通項公式為an＝(n∈N*)．

(2)由(1)知：an＝，所以＝，

因為當n≥1時，3n－1≥2·3n－1，

所以≤，

于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝＜，

所以＋＋…＋＜.