Question

已知函數f（x）=

3

2

sinxcosx+

1+cos2x

4

．
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（A）=

1

2

，b+c=3．求a的最小值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的周期性及其求法,正弦定理

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）利用二倍角公式和兩角和公式對函數解析式化簡，進而利用三角函數的圖象與性質確定函數的最小正周期和遞增區間．
（2）根據已知f（A）的值和（1）中函數的解析式求得A，利用余弦定理確定關于b和c的表達式，利用基本不等式的性質求得a的最小值．

解答： 解：（1）f（x）=

3

2

sinxcosx+

1+cos2x

4

=

3

4

sin2x+

cos2x

4

+

1

4

=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

1

4

，
∴函數的最小正周期T=

2π

2

=π，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
故函數的單調增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．
（2）f（A）=

1

2

sin（2A+

π

6

）+

1

4

=

1

2

，求得A=

π

3

，
a=

b2+c2-2bccosA

=

b2+c2-bc

=

9-3bc

，
∵bc≤

(b+c)2

4

=

9

4

，當且僅當b=c時，取等號．
∴a≥

9- 3×9 4

=

3

2

．

點評：本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，三角函數圖象與性質，余弦定理的應用．考查了學生綜合知識的運用．