Question

設正項等差數列{a_n}，a₂，a₅，a₁₄恰好是等比數列{b_n}的前三項，a₂=3．
（1）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）記數列{b_n}的前n項和為T_n，若對任意的n∈N^*，k（T_n+

3

2

）≥3n-6恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用等差數列與等比數列的通項公式即可得出；
（2）由（1）可得T_n=

3×(3n-1)

3-1

=

3n+1-3

2

，由于對任意的n∈N^*，k（T_n+

3

2

）≥3n-6恒成立，可得k≥

2n-4

3n

．令c_n=

2n-4

3n

，通過c_n-c_n-1=

2n-4

3n

-

2n-6

3n-1

=

-2(2n-7)

3n

，即可得出其最大值，

解答： 解：（1）設正項等差數列{a_n}的公差為d，
∵a₂，a₅，a₁₄恰好是等比數列{b_n}的前三項，a₂=3．
∴

a

2 5

=a2a14，（3+3d）²=3（3+12d），又d＞0，解得d=2．
∴a_n=a₂+（n-2）d=3+2（n-2）=2n-1．
∴a₅=9，

a5

a2

=

9

3

=3．
∴b_n=3ⁿ．
（2）T_n=

3×(3n-1)

3-1

=

3n+1-3

2

，
∵對任意的n∈N^*，k（T_n+

3

2

）≥3n-6恒成立，
∴k(

3n+1

2

-

3

2

+

3

2

)≥3n-6，化為k≥

2n-4

3n

．
令c_n=

2n-4

3n

，則c_n-c_n-1=

2n-4

3n

-

2n-6

3n-1

=

-2(2n-7)

3n

，
當n≤3時，c_n＞c_n-1；當n≥4時，c_n＜c_n-1．
∴（c_n）_max=c3=

2

27

．
∴k≥

2

27

．

點評：本題考查了等差數列與等比數列的通項公式，考查了恒成立問題的等價轉化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．