Question

【題目】已知a∈R，函數f（x）=（﹣x2+ax）ex（x∈R，e為自然對數的底數）．
（1）當a=2時，求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）若函數f（x）在（﹣1，1）上單調遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=2時，f（x）=（﹣x2+2x）ex，f′（x）=﹣（x2﹣2）ex

令f′（x）＞0，得x2﹣2＜0，∴﹣ ＜x＜

∴f（x）的單調遞增區間是（﹣ ， ）；

（2）解：f′（x）=[﹣x2+（a﹣2）x+a]ex，若f（x）在（﹣1，1）內單調遞增，即當﹣1＜x＜1時，f′（x）≥0，

即﹣x2+（a﹣2）x+a≥0對x∈（﹣1，1）恒成立，

即a≥ 對x∈（﹣1，1）恒成立，

令y= ，則y′=

∴y= 在（﹣1，1）上單調遞增，∴y＜1+1﹣ =

∴

當a= 時，當且僅當x=0時，f′（x）=0

∴a的取值范圍是[ ，+∞）．

【解析】（1）求導函數，令f′（x）＞0，可得f（x）的單調遞增區間；（2）f′（x）=[﹣x2+（a﹣2）x+a]ex ， 若f（x）在（﹣1，1）內單調遞增，即當﹣1＜x＜1時，f′（x）≥0，即﹣x2+（a﹣2）x+a≥0對x∈（﹣1，1）恒成立，分離參數求最值，即可求a的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．