Question

【題目】如圖，過拋物線上一點，作兩條直線分別交拋物線于，當與的斜率存在且傾斜角互補時：

（1）求的值；

（2）若直線在軸上的截距時，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）由拋物線過點，得．由，傾斜角互補可知，即，由，代入得；（2）利用點差法求得，設直線的方程為，聯立直線的方程和拋物線的方程利用弦長公式和點到直線距離公式計算面積，利用導數求得面積的最大值為．

試題解析：

（1）由拋物線過點，得，

設直線的斜率為，直線的斜率為，

由，傾斜角互補可知，即，

由，代入得．

（2）設直線的斜率為，由，得，

由（1）得，將其代入上式得．

因此設直線的方程為，由，消去得，

由，得，這時，

，又點到直線的距離為，

所以，

令，則由，得或，

當時，，所以單調遞增，當時，，所以單調遞減，

故的最大值為，故面積的最大值為．