Question

如圖，在四棱錐SABCD中，底面ABCD是正方形，四個側面都是等邊三角形，AC與BD交于點O，E為側棱SC上的一點．
（1）若E為SC的中點，求證：SA∥平面BDE；
（2）求證：平面BDE⊥平面SAC；
（3）若正方形ABCD邊長為2，求四棱錐SABCD的體積．

Answer 1

分析：（1）利用線面平行的判定定理判斷．（2）利用面面垂直的判定定理證明．（3）利用錐體的體積公式求體積．

解答：解：（1）連結OE，因為E，O分別是SC，AC的中點，所以OE∥SA，
因為OE?面BDE，SA?面BDE，所以SA∥平面BDE；
（2）因為四棱錐SABCD中，四個側面都是等邊三角形，所以SA=SC，SD=SB，
所以SO⊥AC，S0⊥BD，
又底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
因為S0∩AC=O，
所以BD⊥平面SAC；
又BD?平面BDE，
所以平面BDE⊥平面SAC；
（3）由（2）知SO⊥AC，S0⊥BD，
所以SO⊥平面ABCD；即SO是四棱錐SABCD的高．
因為正方形ABCD邊長為2，所以SB=2，OC=

2

，
所以SO=

SB2-OC2

=

22-2

=

2

．
所以四棱錐SABCD的體積為

1

3

×22×

2

=

4 2

3

．

點評：本題主要考查空間直線和平面平行以及面面垂直的判定，要求熟練掌握相應的判定定理．