Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形， 平面， 分別是線段， 的中點， .

求證： 平面；

求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】（1）取中點，連接，易得四邊形為平行四邊形，從而

所以∥平面；（2）平面，且四邊形是正方形， 兩兩垂直，以為原點， ， ， 所在直線為軸，建立空間直角坐標系，求出平面與平面的法向量，代入公式得到所成銳二面角的余弦值.

解： 方法一：

取中點，連接，

分別是中點, ，

為中點， 為正方形， ，

,四邊形為平行四邊形，

平面， 平面，

平面.

方法二：

取中點，連接， .

是中點， 是中點， ，

又是中點， 是中點， ，

， ，

又， 平面， 平面， 平面， 平面， 平面平面.

又平面， 平面.

方法三：

取中點，連接， ，

在正方形中， 是中點， 是中點

又是中點， 是中點， ，

又，

，

，

平面//平面.

平面

平面.

方法四：

平面,且四邊形是正方形， 兩兩垂直，以為原點， ， ， 所在直線為軸，建立空間直角坐標系，

則

，

則設平面法向量為，

則, 即, 取，

，

所以 ，又平面， ∥平面.

平面,且四邊形是正方形， 兩兩垂直，以為原點， ， ， 所在直線為軸，建立空間直角坐標系，

則

設平面法向量為，

，

則, 即，

取,

則設平面法向量為，

則, 即, 取，

.

平面與平面所成銳二面角的余弦值為.

（若第一問用方法四，則第二問部分步驟可省略）