Question

【題目】中心在原點的橢圓E的一個焦點與拋物線的焦點關于直線對稱，且橢圓E與坐標軸的一個交點坐標為.

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）過點的直線l（直線的斜率k存在且不為0）交E于A，B兩點，交x軸于點P點A關于x軸的對稱點為D，直線BD交x軸于點Q.試探究是否為定值？請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）為定值4，理由詳見解析.

【解析】

（1）橢圓E的右焦點為，得到，計算，得到答案.

（2）設直線l的方程為，聯立方程得到，計算得到，計算，得到答案.

（1）因為橢圓E的一個焦點與拋物線的焦點關于直線對稱，

所以橢圓E的右焦點為，所以.

又橢圓E與坐標軸的一個交點坐標為，所以，又，

所以橢圓E的標準方程為.

（2）設直線l的方程為，，則點，設

則點，聯立直線l與橢圓E的方程有，

得，所以有，即

且，即直線BD的方程為

令\，得點Q的橫坐標為，

代入得：，

所以，所以為定值4.