Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

2

，左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)P（2，

3

），點(diǎn)F₂在線段PF₁的中垂線上．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)l₁，l₂是過(guò)點(diǎn)G（

3

2

，0）且互相垂直的兩條直線，l₁交E于A，B兩點(diǎn)，l₂交E于C，D兩點(diǎn)，求l₁的斜率k的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N，試問(wèn)直線MN是否恒過(guò)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的離心率e=

2

2

，左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)P（2，

3

），點(diǎn)F₂在線段PF₁的中垂線上，求出幾何量，即可得到橢圓的方程；
（2）設(shè)出直線l₁，l₂的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根的判別式，即可確定l₁的斜率k的取值范圍；
（3）利用韋達(dá)定理，確定M，N的坐標(biāo)，分類討論，確定直線MN的方程，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）由橢圓E的離心率e=

2

2

得

c

a

=

2

2

，其中c=

a2-b2

，
∵點(diǎn)F₂在線段PF₁的中垂線上，∴|F₁F₂|=|PF₂|
∵F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）
∴(2c)2=(2-c)2+(

3

)2
解得c=1，a²=2，b²=1
∴橢圓E的方程為

x2

2

+y2=1；
（2）由題意知，直線l₁的斜率存在并不為零，
∴l(xiāng)₁：y=k（x-

3

2

），∴l(xiāng)₂：y=-

1

k

(x-

3

2

)
由

x2 2 +y2=1 y=k(x- 3 2 )

消去y并化簡(jiǎn)整理，得(1+2k2)x2-6k2x+

9

2

k2-2=0，
根據(jù)題意，△=(-6k2)2-4(1+2k2)(

9k2

2

-1)＞0
∴k²＜4
同理(-

1

k

)2＜4，∴k2＞

1

4

∴

1

4

＜k2＜4
∴k∈(-2，-

1

2

)∪(

1

2

，2)；
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），則x₁+x₂=

6k2

1+2k2

∴x0=

x1+x2

2

=

3k2

1+2k2

∴y0=k(x0-

3

2

)=-

3k

2(1+2k2)

∴M（

3k2

1+2k2

，-

3k

2(1+2k2)

）
同理N（

3

k2+2

，

3k

2(k2+2)

）
①當(dāng)k²=1時(shí)，直線MN的方程為x=1；
②當(dāng)k²≠1時(shí)，直線MN的斜率為kMN=

3k 2(k2+2) + 3k 2(1+2k2)

3 k2+2 - 3k2 1+2k2

=

3k

2(1-k2)

∴直線MN的方程為y+

3k

2(1+2k2)

=

3k

2(1-k2)

(x-

3k2

1+2k2

)
化簡(jiǎn)可得y=

3k

2(1-k2)

(x-1)，此直線恒過(guò)定點(diǎn)K（1，0）
綜合①②知，直線MN恒過(guò)定點(diǎn)K（1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線恒過(guò)定點(diǎn)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．