Question

已知點P為橢圓

x2

25

+

y2

9

=1和雙曲線

x2

9

-

y2

7

=1的一個交點，點F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，則∠F₁PF₂的余弦值是（　　）

• A．0
• B．

  1

  2

• C．1
• D．

  1

  8

Answer 1

分析：由橢圓和雙曲線的定義，得到|PF₁|+|PF₂|=10且||PF₁|-|PF₂||=6，聯解得到|PF₁|²+|PF₂|²=68且2|PF₁|•|PF₂|=32，再算出橢圓的焦距，利用余弦定理加以計算即可算出∠F₁PF₂的余弦值．

解答：解：根據橢圓的定義，可得|PF₁|+|PF₂|=2a=10…①
由雙曲線的定義，可得||PF₁|-|PF₂||=2a'=6…②
①②聯解，得|PF₁|²+|PF₂|²=68且2|PF₁|•|PF₂|=32
又∵點F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，
∴|F₁F₂|=2

25-9

=8，可得|F₁F₂|²=64
△F₁PF₂中，cos∠F₁PF₂=

|PF1|2+|PF2|2-|F 1F2|2

2|PF1|•|PF2|

=

1

8

故選：C

點評：本題在雙曲線與橢圓中，求△F₁PF₂中cos∠F₁PF₂的值．著重考查了橢圓、雙曲線的定義與標準方程和余弦定理解三角形等知識，屬于中檔題．