Question

已知f（x）=

1 x +x2 x∈(1，e) 1-x2 x∈[-1，1]

，則

∫

e  -1

f(x)dx=

 

．

Answer 1

考點：定積分

專題：導數的概念及應用

分析：根據的定積分的運算和定積分的幾何意義，計算即可

解答： 解：

∫

e  -1

f(x)dx=

∫

1 -1

1-x2

dx+

∫

e 1

（

1

x

+x²）dx
因為

∫

1 -1

1-x2

dx幾何意義是以原點為圓心以1為半徑的圓的面積的二分之一，
故

∫

1 -1

1-x2

dx=

π

2

，
因為

∫

e 1

（

1

x

+x²）dx=（lnx+

1

3

x³）|

e 1

=lne+

1

3

e³-ln1-

1

3

=

2

3

+

e3

3

，
所以

∫

e  -1

f(x)dx=

∫

1 -1

1-x2

dx+

∫

e 1

（

1

x

+x²）dx=

π

2

+

2

3

+

e3

3

．
故答案為：

π

2

+

2

3

+

e3

3

．

點評：本題考查定積分的運算性質及微積分基本定理以及定積分的幾何意義，熟記微積分基本定理是解決問題的關鍵．