Question

在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數方程為

x=1- 3 2 t y= 1 2 t

（t為參數），取與直角坐標系xOy相同的長度單位，且以原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，圓C的圓心是（

2

，

π

4

），半徑r=

2

．
（1）求直線l的普通方程和圓C的極坐標方程；
（2）若直線l與圓C相交于A、B兩點，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：參數方程化成普通方程

專題：坐標系和參數方程

分析：（1）由

x=1- 3 2 t y= 1 2 t

消去x即可得到直線的直角坐標方程，化圓的圓心的極坐標為直角坐標，寫出圓的直角坐標方程，然后結合x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得到圓C的極坐標方程；
（2）聯立直線與圓的方程，得4y²-2y-1=0，設出A，B的坐標，利用弦長公式求得|AB|，再由點到直線的距離公式求出C到AB的距離，代入三角形的面積公式得答案．

解答： 解：（1）由

x=1- 3 2 t y= 1 2 t

，得x+

3

y-1=0；
圓C的圓心是（

2

，

π

4

），即（

2

cos

π

4

，

2

sin

π

4

）=（1，1），
半徑為

2

，則圓的方程為（x-1）²+（y-1）²=2，也就是x²+y²-2x-2y=0，
由x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴圓C的極坐標方程是ρ²-2ρcosθ-2ρsinθ=0，即ρ=2（cosθ+sinθ）；
（2）聯立

x+ 3 y-1=0 (x-1)2+(y-1)2=2

，得4y²-2y-1=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y1+y2=

1

2

，y1y2=-

1

4

．
∴|AB|=

1+3

•

( 1 2 )2-4(- 1 4 )

=

5

．
點C到直線AB的距離d=

|1+ 3 -1|

12+( 3 )2

=

3

2

．
∴S△ABC=

1

2

×

5

×

3

2

=

15

4

．

點評：本題考查了參數方程化普通方程，考查了直角坐標方程化極坐標方程，訓練了弦長公式的應用，考查了點到直線的距離公式，是中檔題．