Question

【題目】如圖，四棱錐中，，，，，為等邊三角形，是棱上一點.

（1）證明：；

（2）若平面，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）取中點為，連結， ，通過證明平面，可得；

（2）過作，設，連，，利用直線與平面平行的性質定理可得，又，所以四邊形為平行四邊形，所以、分別為、的中點，再通過計算可得，從而可得到平面的距離為，然后根據體積公式可得結果.

（1）取中點為，連結， .

因為為等邊三角形，，

因為，所以，

又因為，

所以四邊形為平行四邊形，

因為，所以四邊形為矩形，即，

因為且平面，平面，所以平面，

因為平面，所以.

（2）過作，設，連，，則四邊形為平面四邊形，

因為平面，所以，

因為，，所以，所以四邊形為平行四邊形，

所以，又，所以，

所以為的中位線，即、分別為、的中點，

由（1）知平面，因為平面，所以平面平面，

作于點，因為平面平面，所以平面，

因為為等邊三角形且，點為的中點，所以，

在中，因為，所以，

所以，所以，即，

所以到平面的距離為，

所以.