Question

設正數數列{a_n}的前n項之和為S_n滿足S_n=（

an+1

2

）²
（Ⅰ） 求a₁，a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）推測數列{a_n}的通項公式，并進行證明；
（Ⅲ）設b_n=

1

anan+1

，數列{b_n}的前n項和為T_n，若T_n＜

m

19

對一切n∈N^*成立，求最小正整數m．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由S_n=（

an+1

2

）²，利用遞推思想能求出a₁，a₂，a₃，a₄．
（Ⅱ）猜測a_n=2n-1，a_n=S_n-S_n-1=(

an+1

2

)2-(

an-1+1

2

)2，從而能證明a_n=2n-1．
（Ⅲ）bn=

1

anan+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，由此利用裂項求和法能求出最小正整數m=10．

解答： （本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）∵S_n=（

an+1

2

）²，
∴a₁=S₁=（

a1+1

2

）²，由a_n＞0，解得a₁=1，
S2=1+a2=(

a2+1

2

)2，由a_n＞0，解得a₂=3，
S3=4+a3=(

a3+1

2

)2，由a_n＞0，解得a₃=5，
S4=9+a4=(

a4+1

2

)2，由a_n＞0，解得a₄=7．…（3分）
（Ⅱ）猜測a_n=2n-1…（4分）
證明：S_n=(

an+1

2

)2，S_n-1=(

an-1+1

2

)2，
a_n=S_n-S_n-1=(

an+1

2

)2-(

an-1+1

2

)2（n≥2）…（6分）
2（a_n+a_n-1）=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），
∴a_n-a_n-1=2，∴a_n=2n-1（n≥2）…（8分）
a₁=1滿足上式，∴a_n=2n-1．…（9分）
（Ⅲ）bn=

1

anan+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)…（10分）
T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

2n+1

）＜

1

2

，…（12分）
若Tn＜

m

19

對一切n∈N^*成立，則需

1

2

≤

m

19

，∴m≥

19

2

最小正整數m=10．…（14分）

點評：本題考查數列的前4項的求法，考查數列的通項公式的鋪想及證明，考查滿足條件的最小正整數的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．