Question

【題目】已知正實數x，y，z滿足x+y+z=1， + + =10，則xyz的最大值為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵x+y+z=1，∴z=1﹣（x+y），

∴ ，

即 =10，

設xy=a，x+y=b，則0＜a＜1，0＜b＜1，

∴ ，化簡得a= ．

∴xyz=xy[1﹣（x+y）]=a（1﹣b）=（1﹣b） = ．

令f（b）= ，則f′（b）= ，

令f′（b）=0得﹣20b3+47b2﹣36b+9=0，即（4b﹣3）（5b﹣3）（1﹣b）=0，

解得b= 或b= 或b=1（舍），

∴當0＜b＜ 或 時，f′（b）＞0，

當 時，f′（b）＜0，

∴f（b）在（0， ）上單調遞增，在（ ， ）上單調遞減，在（ ，1）上單調遞增，

∴當b= 時，f（b）取得極大值f（ ）= ．

又f（1）=0，

∴f（b）的最大值為 ．

所以答案是 ．

【考點精析】本題主要考查了平均值不等式的相關知識點，需要掌握平均不等式：,（當且僅當img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2018/02/23/17/02796764/SYS201802231706188599294481_DA/SYS201802231706188599294481_DA.015.png" width="37" height="19" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />時取號即調和平均幾何平均算術平均平方平均）
才能正確解答此題．