Question

【題目】某生產旅游紀念品的工廠，擬在2017年度進行系列促銷活動，經市場調查和測算，該紀念品的年銷售量 （單位：萬件）與年促銷費用 （單位：萬元）之間滿足 于 成反比例.若不搞促銷活動，紀念品的年銷售量只有1萬件.已知加工廠2017年生產紀念品的固定投資為3萬元，沒生產1萬件紀念品另外需要投資32萬元.當工廠把每件紀念品的售價定為“年平均每件生產成本的1.5倍”與“年平均每件所占促銷費的一半”之和時，則當年的產量和銷量相等.（利潤=收入－生產成本－促銷費用）
（Ⅰ）請把該工廠2017年的年利潤 （單位：萬元）表示成促銷費 （單位：萬元）的函數；
（Ⅱ）試問：當2017年的促銷費投入多少萬元時，該工程的年利潤最大？

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設反比例系數為 （ ）.由題意有 .

又 時， ，所以 ， ，

則 與 的關系是 （ ），

依據題意，可知工廠生產 萬件紀念品的生產成本為 萬元，促銷費用為 萬元，則每件紀念品的定價為 元/件，

于是 ，進一步化簡，得 （ ）.

因此工廠2017年的利潤為 （ ）.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， （ ） ，

當且僅當 ，即 時取等號，

所以當2017年的促銷費用投入7萬元時，工廠的年利潤最大，最大利潤為42萬元.

【解析】(1)根據反比例函數的定義結合同意代入數值求出k的值，進而通過x表示出年利潤y的代數式，對其化簡整理即可得到函數式。(2)根據題意利用基本不等式求出最值即可。