Question

【題目】已知，，，…，等10所高校舉行自主招生考試，某同學參加每所高校的考試獲得通過的概率均為.

（1）如果該同學10所高校的考試都參加，恰有所通過的概率為，當為何值時，取得最大值；

（2）若，該同學參加每所高校考試所需的費用均為元，該同學決定按，，，…，順序參加考試，一旦通過某所高校的考試，就不再參加其它高校的考試，否則，繼續參加其它高校的考試，求該同學參加考試所需費用的分布列及數學期望.

Answer 1

【答案】（1）當時，取得最大值；（2）見解析

【解析】

（1）根據題干得到同學恰好通過所高校自主招生考試的概率為，將這個表達式看做m的函數式，對函數求導，可得到單調性進而得到最值；（2）根據題干知學生需要的費用有可能為a,到10a,這些情況，再分別求出對應的概率值，可得到分布列和期望值.

（1）因為該冋學通過各校考試的概率均為，所以該同學恰好通過所高校自主招生考試的概率為

當時，，遞增；

當時，，遞減；

所以當時，取得最大值.

（2）設該同學共參加了次考試的概率為.

∵，

∴所以該同學參加考試所需費用的分布列如下：

所以，

令，①

則，②

由①-②得，

所以，

所以

（元）.